Lektoři

Největší společný dělitel

05. 10. 2021

Úvod do problematiky:

Největší společný dělitel (NSD) dvou celých čísel je největší číslo, které beze zbytku dělí obě čísla. Typickým využitím největšího společného dělitele je krácení zlomků. Pokud největší společný dělitel dvou čísel je číslo 1, tak nazýváme taková čísla nesoudělná. Například čísla 7 a 13 jsou nesoudělná.

Určení NSD pro malá čísla

Pro malá čísla můžeme největšího společného dělitele určit tak, že si prostě vypíšeme všechny dělitele.

Pokud hledáme NSD (36, 48) postupujeme následovně:

  • Dělitelé čísla 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
  • Dělitelé čísla 48 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
  • Společní dělitelé čísel 36 a 48 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 12.
  • Největší společný dělitel je 12.

Určení NSD pro velká čísla

Pro větší čísla můžeme největšího společného dělitele určit pomocí prvočíselného rozkladu. Obě čísla rozepíšeme jako součin prvočísel, výsledný NSD je součin prvočísel vyskytujících se v obou rozkladech umocněných na příslušné nejmenší exponenty.

Pokud hledáme NSD(540, 315) postupujeme následovně:

  • 540 = 2 . 2 . 3 . 3. 3 . 5 = 2² . 3³ . 5
  • 315 = 3 . 3 . 5 . 7 = 3² . 5 . 7
  • Společná část prvočíselného rozkladu: 3, 3, 5
  • NSD (540, 315) = 3 . 3 . 5 = 3² . 5 = 45

Potřebujete doučování matematiky?

Pomůžeme vám

Zjistit více

Příklady na procvičení:

  1. Vypište vedle sebe všechny dělitele trojice čísel, barevně zakroužkujte největšího společného dělitele trojice čísel:
    1. 10, 15, 30
    2. 12, 20, 16
    3. 18, 24, 12
    4. 21, 70, 35
  2. Rozlož na součin prvočísel a najdi největšího společného dělitele dvojice čísel:
    1. NSD (60, 12) = ?
    2. NSD (56, 76) = ?
    3. NSD (65, 75) = ?
  3. Na začátku školního roku je ve třídě připraveno k rozdání 396 sešitů a 252 učebnic. Všichni žáci dostanou stejný počet sešitů a stejný počet učebnic. Kolik žáků je ve třídě, víte-li, že je jich více než 30 a méně než 50?
  4. Orientačního závodu se zúčastnilo 26 dívek a 39 chlapců. Vytvořte co nejvíce stejných družstev tak, aby žádný závodník nezbyl. Kolik chlapců a kolik dívek je ve družstvu?

Výsledky příkladů:

  1. příklad
    1. 5
    2. 4
    3. 6
    4. 7
  2. příklad
    1. 12
    2. 4
    3. 5
  3. 36
  4. 13 družstev, v každém 2 dívky a 3 chlapci

Kategorie

Matematika

Štítky