Parabola

Úvod do problematiky:

Parabola je geometrická křivka a zároveň grafem kvadratické funkce. Kvadratickou funkci lze vyjádřit ve tvaru f: y = ax² + bx + c, kde a ≠ 0. Parabola připomíná tvarem písmeno U (ďolík, miska) nebo obrácené písmeno U (kopec). Parabola má buď svoje minimum (ďolík) či maximum (kopec), které souhrnně nazýváme vrchol paraboly. Dále nás u této funkce zajímá, zda prochází souřadnicovými osami, tzn. zda má průsečíky s osou x (ten má vždy y-ovou souřadnici nulovou => Px[x; 0]) a osou y (ten má vždy x-ovou souřadnici nulovou => Py[0; y]). Každá parabola je souměrná podle osy rovnoběžné s osou y.

Jak zjistíme průsečíky kvadratické funkce se souřadnicovými osami? 

Máme funkci f: y = x² – 6x + 8. Průsečíky s osou x zjistíme, pokud vyřešíme kvadratickou rovnici: x² – 6x + 8 = 0. V tomto příkladu jsou řešením rovnice x₁ = -4 a x₂ = -2. Průsečík s osou y zjistíme, pokud do zápisu dosadíme za x = 0, tzn. y = 0² – 6.0 + 8 => y = 8. 

Jak zjistíme vrchol paraboly?

Souřadnice vrcholu paraboly jednoduše zjistíme díky vzorečku -b/2a. Na základě tohoto vzorce zjistíme x-ovou souřadnici vrcholu a y-ovou spočítáme pouhým dosazením do předpisu funkce.

Co ovlivňují jednotlivé koeficienty kvadratické funkce?

Kvadratický koeficient a ovlivňuje základní podobu paraboly:

• pro a > 0 (kvadratický koeficient je kladný) je funkce zdola omezená (tzn. má tvar ďolíku, misky) => funkce má minimum
• pro a < 0 (kvadratický koeficient je záporný) je funkce shora omezená (tzn. má tvar kopce) => funkce má maximum
• velikost kvadratického koeficientu a zároveň ovlivňuje, jak je parabola široká

Konstantní člen c ovlivňuje posun paraboly – udává průsečík s osou y.

Příklady na procvičení:

1. Je dána funkce y = x². Určete souřadnice vrcholu paraboly. Vyjádřete tuto funkci pomocí tabulky, pro hodnoty x zadejte x-ovou souřadnici vrcholu a dále tři celá čísla nalevo od vrcholu a tři napravo. Hodnoty z tabulky znázorněte také v grafu. (V [0;0])
2. Je dána funkce y = -2x² + 4x. Určete souřadnice vrcholu paraboly. Vyjádřete tuto funkci pomocí tabulky, pro hodnoty x zadejte x-ovou souřadnici vrcholu a dále tři celá čísla nalevo od vrcholu a tři napravo. Hodnoty z tabulky znázorněte také v grafu. (V [1;2])
3. Je dána funkce y = x² – 5. Načrtněte graf funkce, vyznačte v něm souřadnice vrcholu a průsečíky s osou x. (V [0;-5]; průsečíky s osou x [–5;0] a [5;0])
4. Je dána funkce y = 5x² – 3x + 2. Načrtněte graf funkce, vyznačte v něm souřadnice vrcholu a průsečíky s osou x. (V [0,3;1,55]; průsečíky s osou x nejsou)